Catena di Markov: Cos'è, Come Funziona e Dove si Applica
Nel mondo della matematica, della statistica e delle scienze applicate, la catena di Markov è un concetto fondamentale per modellare fenomeni casuali nel tempo.
Sviluppata dal matematico russo Andrey Markov all'inizio del XX secolo, questa teoria è diventata la base di innumerevoli applicazioni in finanza, informatica, biologia, intelligenza artificiale e altro ancora.
Ma che cos'è esattamente una catena di Markov?
Definizione Semplice
Una catena di Markov è un processo che passa da uno stato all'altro in uno spazio di stati (un insieme di tutte le possibili situazioni), secondo probabilità di transizione.
La caratteristica principale è la proprietà di Markov:
Il futuro dipende solo dal presente, non dal passato.
In altre parole: per prevedere il prossimo stato del sistema, non importa come ci siamo arrivati, ma solo in quale stato siamo adesso.
Elementi principali di una catena di Markov
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Stati: Tutte le possibili situazioni in cui il sistema può trovarsi.
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Transizioni: I passaggi da uno stato a un altro.
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Probabilità di transizione: Le probabilità associate a ciascun passaggio.
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Tempo discreto o continuo: Le catene di Markov possono evolversi in "passi" distinti (tempo discreto) o in tempo continuo.
Esempio Intuitivo
Immagina una scimmietta su tre alberi: A, B e C.
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Se ora si trova su A, ha:
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60% di probabilità di restare su A
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30% di probabilità di saltare su B
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10% di probabilità di saltare su C
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Ogni salto dipende solo dall'albero attuale.
Le probabilità possono essere rappresentate in una matrice di transizione:
| Stato Attuale | A (Prossimo) | B (Prossimo) | C (Prossimo) |
|---|---|---|---|
| A | 0.6 | 0.3 | 0.1 |
| B | 0.2 | 0.5 | 0.3 |
| C | 0.4 | 0.4 | 0.2 |
(Sommando ogni riga si ottiene sempre 1.)
Proprietà Importanti
🔵 Proprietà di Markov: L'informazione del passato non serve per predire il futuro, serve solo il presente.
🔵 Matrice di transizione: Racchiude tutte le informazioni sulle probabilità di cambiamento di stato.
🔵 Stato stazionario: Con molte iterazioni, la catena può raggiungere un equilibrio, dove le probabilità di essere in ciascun stato non cambiano più.
🔵 Periodicità: Se il sistema ritorna a uno stato solo dopo un certo numero di passi specifici.
🔵 Assenza di memoria: È l'altra faccia della proprietà di Markov: il sistema "dimentica" come è arrivato a uno stato.
Applicazioni della Catena di Markov
🔹 Finanza: Modellare prezzi di asset che si muovono in modo casuale (ad esempio nelle simulazioni Monte Carlo).
🔹 Machine Learning: Modelli di sequenza (come Markov Chains nei chatbot, generazione testi, traduzione automatica).
🔹 Biologia: Evoluzione genetica o popolazioni animali.
🔹 Giochi e simulazioni: Modellare partite di giochi complessi (scacchi, poker).
🔹 Ingegneria e informatica: Compressione dati, riconoscimento vocale, previsione di guasti nei sistemi.
🔹 Criptovalute e blockchain: Simulazioni di mercato decentralizzato e di comportamento di asset.
Un Mini Esempio Pratico
Supponiamo di avere una semplice catena del tempo atmosferico:
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Sole ☀️
-
Pioggia 🌧️
La matrice di transizione può essere:
| Stato Attuale | Sole (Next) | Pioggia (Next) |
|---|---|---|
| Sole | 0.8 | 0.2 |
| Pioggia | 0.5 | 0.5 |
Se oggi è soleggiato, c'è l'80% di probabilità che domani sia ancora soleggiato e il 20% che piova.
Dopo più giorni, si può calcolare la distribuzione di probabilità degli stati futuri moltiplicando la matrice di transizione per sé stessa (iterativamente).
Differenza tra Catena di Markov e Processi più Complessi
Una catena di Markov è molto semplice perché:
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Ogni decisione richiede pochissima informazione (solo lo stato corrente).
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È molto efficiente da calcolare.
In processi più complessi come processi semi-markoviani o reti neurali profonde, invece, la memoria lunga e il contesto storico possono essere importanti.
Conclusione
La catena di Markov è un modello potente nella sua semplicità.
Aiuta a comprendere e simulare fenomeni complessi con poche regole essenziali: sapere dove sei basta per sapere cosa potrà accadere dopo.
Che tu stia simulando il prezzo di una criptovaluta, costruendo un bot di trading, o semplicemente predicendo il tempo, la matematica di Markov è uno strumento indispensabile.
